Notations : aZ et D(a)

Notation

Soit `a` , `b \in \mathbb{Z}` .
L'ensemble des multiples de  \(b\) est :  \(\left\lbrace ... \ ; -3b \ ; -2b \ ; -b \ ; 0 \ ; b \ ; 2b \ ; 3b \ ; ... \right\rbrace =b\mathbb{Z}\) .
Ce sont tous les entiers de la forme  `kb`  avec  `k \in \mathbb{Z}` .

En particulier :

• l’ensemble des multiples de  `0` est \(0\mathbb{Z}=\left\lbrace 0 \right\rbrace\) car  \(0\) ne divise que lui-même ;
  
• l’ensemble des multiples de  \(1\) est \(1\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\) car  \(1\) divise tous les entiers ;
• l’ensemble des multiples de  \(-1\) est \((-1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\) car \(-1\) divise tous les entiers.
  

Notation

L'ensemble des diviseurs de  \(a\) est noté \(\mathscr{D}(a)\) . On a :

• \(\mathscr{D}(0)=\mathbb{Z}\) ;
  
• \(\mathscr{D}(1)=\mathscr{D}(-1)=\left\lbrace -1 \ ; 1 \right\rbrace\) ;
• pour tout \(a \in \mathbb{Z} \setminus \left\lbrace -1 \ ; 0 \ ; 1 \right\rbrace\) , \(\mathscr{D}(a)\) contient au moins quatre éléments : \(1\) ; \(-1\) ; \(a\) et \(-a\) .

Attention, la notation \(\mathscr{D}(a)\) n’est pas une notation standard.

Exemples

• \(\mathscr{D}(36) =\left\lbrace 1 \ ; 2 \ ; 3 \ ; 4 \ ; 6 \ ; 9 \ ; 12 \ ; 18 \ ; 36 \ ; -1 \ ; -2 \ ; -3 \ ; -4 \ ; -6 \ ; -9 \ ; -12 \ ; -18 \ ; -36 \right\rbrace\)
  
• \(\mathscr{D}(-21) =\left\lbrace 1 \ ; 3 \ ; 7 \ ; 21 \ ; -1 \ ; -3 \ ; -7 \ ; -21 \right\rbrace\)
  
• \(\mathscr{D}(13) =\left\lbrace 1 \ ; 13 \ ; -1 \ ; -13 \right\rbrace\)